洋葱教研室|关于一元二次方程，我们要教给学生什么？

欢迎来到洋葱教研室。今天我们一起来聊一聊《一元二次方程》。我将为你解读这一章内容在初中数学课程中的地位，然后谈一谈期望学生学完这一章后产生什么样的迁移，以及为了达到学习的迁移，我们需要帮助学生形成什么样的理解。

从公元前1700年开始，巴比伦人、古希腊人、中国人、古印度人和阿拉伯人都陆续研究过二次方程的求解问题。在16世纪的欧洲更是达到了对高次方程研究的巅峰，其中就有初中学生熟悉的法国数学家韦达。对于高次方程发展的历史，我们可以通过一个动画视频来了解一下。

▲ 一元二次方程引入视频

下面我们就来聊一聊，这一章内容在初中数学课程中的地位。我们从课标对教学内容的6个相关要求来做一些说明。

01

课标对本章教学内容的六个要求

（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

之前，我们已经进行了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的教学和相关实际问题的解决，已经对用方程模型刻画现实世界的数量关系有比较深的体会了。

一元二次方程可以在更高、更深的层面上，表达实际问题中的等量关系，成为一种应用更为广泛的数学模型。

比如“病毒的传播、增长率、薄利多销、长方形面积的变化”等很多实际问题的数量关系，都可以用一元二次方程来刻画。

（2）经历估计方程解的过程。

“估算”是利用方程解决实际问题的重要策略，很多实际问题只需要估算结果，不需要精确的数值。课标的例52就是一个很好的例子：

估计方程 x²+2x-10=0 的解。

从x²这一项可以看出，当x取绝对值比较大的数时（比如10），方程左边必然为正；而从方程的-10这一项可以看出，如果x的绝对值很小（比如0），那么方程左边则有可能为负。

这就为我们提供了一个解的范围。

我们可以用这样的方法将这个方程的一个根的范围估算到2和3这两个整数之间，如果继续计算还可以更精确。当然，这个视角在学习二次函数以后可以结合图象进行更直观的分析。

▲ 函数y=x²+2x-10的图象

“估计方程的解”对数感的培养具有重要的意义，这一点也贯穿学习方程的全过程。

（3）理解配方法，能用“配方法、公式法、因式分解法”解数字系数的一元二次方程。

方程的“解法”和“应用”是两个重要的教学内容，一元二次方程的解法更是本章的重点，因为其基本策略——降次，不仅可以和“解二元一次方程组的消元”共同构成解整式方程向一元一次方程化归的系统策略，一元二次方程的解法本身也更具有多样性和复杂性，对于学生解决问题策略的培养具有重要意义。

那么这几种解法之间具有什么样的关系呢？

从解法的本质来看，为了达到降次的目的，我们实际上主要用两种方法来实现，一种是开平方，另一种是因式分解。这两种方法实现降次的依据不同，开平方法是通过等式两边开平方，也就是等式的性质实现降次，而因式分解法是根据“如果两个式子相乘等于0，那么其中至少有一个式子等于0”来实现降次。

直接开平方法既是配方法的特殊情况，也是配方法的转化目的，配方法又是公式法的推导基础。当然，公式法本身有通用性和直接性，但如果从降次的依据上来追根溯源的话，直接开平方法、配方法、公式法可以看成是一个体系的方法。

▲ 一元二次方程的解法

所以配方不是目的，目的是通过配方把方程左边变形为完全平方的形式，以转化成能够直接开平方的式子。这其实就揭示了配方法的实质——代数变形。

从这个角度理解，配方法当然也不只是出现在解一元二次方程中，比如后面我们学习二次函数时也会用到配方法，将解析式化为顶点式。

（4）会用一元二次方程根的判别式，判别方程是否有实根和两个实根是否相等。

在学习求根公式时，自然会涉及对判别式的分类讨论，这就为学生领悟和运用分类与整合的数学思想方法分析问题和解决问题提供了丰富且有效的素材，也是提升运算能力的重要过程和有效手段。

这一部分知识的应用比较灵活，而且和其他知识的综合性比较强，不同的地区要求不一。现在全国很多省市的考试题目当中，都在判别式的应用上有很强的体现。

（5）了解一元二次方程根与系数的关系：韦达定理。

在过去的教材中，对这个内容的要求是很高的，很多的综合题当中都涉及到了“根与系数关系的应用”，特别是利用根与系数的关系进行复杂的代数变形，然后进行推理论证以及计算。

课标一度把这个内容删除了，但是删除以后，又听到了很多高中老师强烈的呼吁，说这个内容在高中特别重要，初中既然讲一元二次方程了，应该含有这个内容。

经过这样的几进几出，现在的课标把它作为一个选学内容，主要目的是解决初高中的衔接问题。

从另一个方面来看，一元二次方程的求根公式和根与系数的关系从两个不同的角度揭示了一元二次方程根与系数的内在联系，引入韦达定理是求根公式的自然延伸，过程并不复杂，可以把这一内容作为探究的资源，但课标明确规定：不要求应用这个关系解决其他问题。

（6）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

怎么在解一元二次方程时理解这件事呢？

举个例子，当一元二次方程有两个不等实根的时候，如果这两个根一个为正数，另一个为负数，而负数往往是不符合实际意义的，这时我们就通过检验合理性舍去了负根。

听起来好像很简单吧？

其实很多实际问题中的一元二次方程也是有两个正根的，这就需要我们判断了：这两个正根是不是都是符合实际意义的解呢？有的时候两个正根都是，也有的时候其中一个根超出了符合实际意义的范围，因此也要舍去，这一点我们需要在后面的教学中引起注意。

▲ 视频所在位置：一元二次方程-《薄利多销问题》

02

2个迁移和3个理解

根据刚才对这一章内容的分析，通过这一章的学习，我们希望学生能产生以下两个方向的迁移：

1、用配方进行代数变形解决相关问题。

2、在其他情境下或学科中运用降次思想解决问题。

因此，我们需要帮助学生形成以下三个关键理解：

（1）配方是代数变形中的一种重要手段。

从“代数变形”的角度理解配方法，更能从目的出发选取恰当的变形手段。

比如，为了降次，我需要把方程左边变形成一个完全平方的形式，用配方法可以实现这个变形的目的。另一种使用配方法的情况是，求二次函数的最值时，化成顶点式可以更容易求出，因为顶点式完全平方的部分提供了最小值，那么为了化成顶点式，配方法可以实现这个目的。

当然仔细分析你会发现，这两种情况下使用配方法变形的依据是不同的。前者是等式的性质，后者是恒等变形，但使用配方法的目的是相同的，那就是把代数式变形成含有完全平方项特征的式子。

因此形成这个理解的标志是，学生能从代数变形的目的出发选择使用配方法，对于代数式求最值等问题能够持续思考：这个问题能用配方法解决吗？而不仅仅认为配方法是解一元二次方程的一种方法。

（2）一元二次方程可以通过降次转化为一元一次方程。

代数问题的转化可以分成两大类，一类是多元转化为一元的问题，另一类是高次转化为一次的问题。

和上一个关键理解类似，降次也不仅仅是解高次方程的专利，我们在解决一些代数式求值的问题中会用到整体代入，我们在解决一些代数式求值的问题中会用到整体代入，比如下面这个问题，这个问题正是运用了降次的思想解决问题。

▲ 视频所在位置：一元二次方程-《二次方程与代数式求值》

形成这个理解的标志是，学生遇到二次及以上的代数式时，能够持续思考：如何实现降次？并利用等式的性质、低次等量代换高次等工具进行尝试。

（3）一元二次方程的最优解法取决于方程的结构特点和系数特征。

拿到一个方程，先观察方程有没有结构上的特点。

比如，没有常数项可以直接因式分解，等号两边有相同的式子时可以移到左边作为公因式提出。方程的系数不仅决定了方程的根，同时也是最优解法的指南针。不同解法的程序不同，对不同系数特征的处理复杂程度就会不同。

比如说，二次项系数不是±1时，用配方法就比较麻烦；一次项系数比较大时，用公式法可能就不是一个好的选择。形成这个理解的标志是，学生能够持续思考：这个方程怎么解更好？并能够依据方程的系数特征选择不同的解法。

▲ 视频所在位置：一元二次方程-《活用降次解方程》

最后，总结一下今天的内容：

首先为你解读了课标与本章内容相关的6个要求，并根据这一章内容的课程地位给出了以配方法和降次思想为学习迁移的期望。为了产生这两个迁移，我们需要帮助学生形成三个关键理解：

1、配方是代数变形中的一种重要手段。

2、一元二次方程可以通过降次转化为一元一次方程。

3、一元二次方程的最优解法取决于方程的结构特点和系数特征。

同时，对“方程是刻画现实世界数量关系的模型”这一感悟，在整个方程体系中一脉相承，这一章我们也会遇到更多能用一元二次方程模型刻画的实际问题，进一步发展数学建模的思想。

-END-

原创不易，望随手转发

往期精彩推荐

老师您好：

      为给您提供更多福利和更好的服务，我们开通了「洋葱HOPE卓越教师」服务号。精彩教研课程、教学资料、干货福利等都会在第一时间送达。

现在关注即可获得“前北京市数学学科带头人王玉起老师的《信息化+传统课堂5大教学环节设计-上》教研课1节”。

老师赶快扫码关注吧！

——from 沉迷送福利的洋葱君

▲ 扫描上方二维码即可关注

老师，点一下“在看”再走呗？

点击阅读原文，加入【洋葱教师交流社群】，和全国优秀的教师一起交流学习，还有洋葱专属福利等第一时间送达！